Bonjour taf29,
Très simple: tu sors et tu re-rentres dans le territoire Coréen quand tes 90 jours expirents.
A ton retour en Corée, cela ré-initialises ton autoristation de séjour touristique (sans Visa) de 90 jours.
Tu as le droit de faire cette manipulation une fois légalement.
Après, si tu continues les aller-retours, l’immgigration Coréenne peut en théorie ne pas t’autoriser à entrer sur le territoire, en te suspectant de jouer sur cette “zone grise” pour éviter d’obtenir un vrai Visa. Mais dans les faits ils sont assez tolérants avec les français sur quelques allers-retours 
Dans la communauté des expats qui galèrent avec leur Visa ça s’appelle un Visa-run.
Après je répète, la 1ere fois c’est totallement légal donc ne t’inquiète pas.
Le plus simple, rapide et moins couteux c’est l’aller-retour au Japon, à Fukuoka par exemple: ~1h en avion depuis Seoul. Tu visites un weekend et tu reviens !
Bon séjour,