Bonsoir,
La plupart des bains thermaux sont devenus mixtes depuis quelques temps.
Les bains Gellert > Infos sur la mixité : http://gellertspa.com/dress-code-in-gellert-spa-thermal-baths-budapest
Les bains Szechenyi > Infos sur la mixité : http://szechenyispabaths.com/is-szechenyi-baths-mixed-szechenyi-bath-faq/
Les bains kiraly > Infos sur la mixité : http://en.kiralyfurdo.hu/news/mixed-bathing-at-kiraly-bath
Les bains Gellért (http://www.gellertbath.hu/) et Széchenyi (http://www.szechenyibath.hu/) sont très sympas. Les bains extérieurs de Széchenyi sont à tester en hiver. Pensez à amener des tongs et une grande serviette !
Néanmoins, malgré qu’ils soient très biens, grands, avec de nombreux bassins et services, les deux bains thermaux cités ci-dessus, commencent à perdre de leur authenticité car ils sont devenus très touristiques. Si vous préférez le calme, je vous suggère donc de vous rendre à Kiraly Baths (plus petits que les autres bains thermaux. Souvent conseillés par les guides locaux. Ne pas se fier à votre première impression, les bains ont l’air peu accueillants mais ils sont restés authentiques). Ce sont d’anciens bains turcs hors du temps, très authentiques et typiques et qui possèdent une atmosphère sereine, loin de l’effervescence touristique des autres bains thermaux. Il y a plusieurs bassins à différentes températures (1 grand central et 4 plus petits), deux saunas et un hammam. Les vestiaires sont mixtes mais vous pourrez vous changer dans une cabine individuelle où vous pourrez laisser vos affaires. Il faudra retenir le numéro de votre cabine et non pas celui de votre bracelet métallique. Infos ici : (http://en.kiralyfurdo.hu/prices).
Bonne soirée ! 
Adeline.
Merci beaucoup Adeline pour toutes ces informations précieuses et pour votre réactivité