Visa et places en juillet pour Transsibérien?

Bonjour,

Je prévois de partir en juillet en Russie avec une amie.
Nous allons rester qq jours à St-Pétersbourg et Moscou avant de prendre le Transsibérien pour Oulan-Bator en Mongolie.

J'ai 2 questions:

1. D'abord, pouvons-nous envisager d'acheter les billets de transsibérien directement sur place et tronçon par tronçon (ou y-a-t-il trop de risques de ne pas trouver de places à cause de l'affluence touristique en juillet)? (sachant que nous voulons voyager dans la catégorie la moins chère)

2. Ensuite, comment faire pour le visa sachant que nous devons justifier toutes nos nuits sur place (cela ne devrait pas poser de pb pour St-P et Moscou mais nous ne savons pas encore où nous allons loger par la suite et nous ne souhaitons pas payer un hôtel pendant toute la durée de notre voyage juste pour justifier nos nuits)?

Autre remarque: nous serons sans doute hébergées chez une amie à Moscou. L'ambassade nous parle d'une procédure compliquée pour qu'elle nous fasse elle-même l'invitation. En savez-vous davantage?

D'avance merci beaucoup!!!