Sur Helsinki :
Hôtel pas cher et sauna tu ne le trouves que chez Eurohostel, qui est une "auberge de jeunesse" qui propose des chambres à 2 ou famille.
Le sauna est compris dans le prix le matin et payant et à réserver le soir.
C'est un sauna collectif, donc vraisemblablement unisexe à tour de rôle à moins de réserver les 10 places pour 2 heures !
http://www.eurohostel.fi/Hostel/Services.aspx

Sinon en hôtel pas cher tu as Ava Hotel:
http://www.ava.fi/index.php?lang=en
avec pas trop loin de l'hôtel la grande piscine municipale qui a des saunas unisexes.

Pour un sauna privé, faut louer un appartement ou un chalet.
Dans les sauna finlandais on est nu car les luthériens ne sont pas bloqués avec leur corps comme les catholiques, la nudité n'est pas honteuse que l'on ai un corps de Vénus ou d'Apollon ou bien celui d'un(e) troll(e).

Mais personne n'empêche personne (car les finlandais respectent la tranquillité des autres) de garder sa serviette enroulée autour du corps. A proscrire les maillots surtout en synthétique. Mais le vestiaire reste collectif et la pudibonderie franchement inutile car personne ne matte personne...

Si voulez voir une Aurore polaire, faut prendre une correspondance directe à l'aéroport pour la Laponie et rechercher un hôtel ou un mökki (chalet) en fonction de votre destination. Mais le pas cher là bas, je connais pas.
La probabilité de voir une aurore polaire en 4 jours est très faible, c'est une question de chance..
Un autre moyen de transport autre que l'avion est inadéquat car trop long pour une courte période.

Pour les restos je te recommande d'acheter le guide du routard 2007-2008 qui est très complet. Sinon tu peux aller sur le site de sudfinlande.net qui donnent des liens de quelques restos et des moteurs de recherche spécilisés restos:
http://www.sudfinlande.net/cafes_home.php

La neige durable n'est pas vraiment garantie à Helsinki avant janvier les années dites "normales" et les 2 dernières étaient "plutôt chaudes".
Les stats sur la période 1971-2000 donnent pour Helsinki +1.4° de moyenne en novembre et -2.2° en décembre avec des extrêmes pouvant atteindre respectivement +11.6°/-18.6° et +12.6°/-29.5° sur différentes années..

Pour la neige garantie fin novembre, il faut monter vers le cercle polaire.